Bilangan Kompleks
Unknown

BILANGAN KOMPLEK

Sistem Bilangan Real (R)
Sistem bilangan seperti yang kita kenal sekarang adalah hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang ditunjukkan dalam daftar berikut.
1.         Bilangan asli  1, 2, 3, 4,. . , Juga disebut bilangan bulat positip, pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi dengan waktu, misalnya yang digunakan  bilangan Romawi I, II, III, IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah a + b dan perkalian a. b, (a) (b) atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian atau untuk memenuhi sifat penutupan terhadap operasi ini.
2.        Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3. . . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi dari persamaan seperti
       x + b = a. dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan, dan kita tulis dengan x = a-b
        himpunan bilangan bulat positip, negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan pengurangan.
3.         Bilangan rasional dan pecahan seperti - , - . . . muncul untuk memungkinkan persamaan solusi seperti bx = a untuk semua bilangan bulat a dan b di mana b≠0
ini mengarah ke operasi divisi atau invers perkalian, dan kita tulis dengan 
x = a/b atau  a+b [disebut hasil bagi a dan b] di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Himpunan bilangan bulat adalah bagian atau subset dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan bilangan rasional a / b dimana b = 1.  Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama pembagian dengan nol tidak termasuk.
4.         Bilangan irasional seperti  =1.41423. . . dan  = 3. 14159. . .adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b≠0
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan himpunan bilangan ril. diasumsikan bahwa siswa sudah mengetahui  dengan berbagai operasi pada bilangan real.
 
DASAR SISTEM AXIOMETIC DALAM ANGKA-ANGKA YANG KOMPLEKS


            Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan angka-angka complex sebagai pasangan ( a,b) dari bilangan riil a dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana semua angka menggantikan angka-angka riil.
a. Persamaan  (a,b) = (c,d) jika dan hanya jika a = c, b = d
b. Penjumlahan (a,b) + (c,d) = (a+ c, b+ d)
c. Produk (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc)
                        m(a, b) = (ma, mb)
            Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa ( a,b) = a ( 1,0)+ b ( 0,1) dan kita berhubungan dengan ini a + bi di mana lambang untuk ( 0,1) dan  mempunyai i2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) (yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1) dan ( 1, 0) jadilah setara dengan bilangan riil 1. Pasangan yang diinginkan ( 0,0) sesuai dengan bilangan riil 0.

Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika z1, z2, z3, bagian dari S bilangan kompleks :

  1. 1 z1 + z2 dan z1 z2 tergolong S                Hukum Tertutupan 
  2.  z1 + z2 = z2 +z1                                    Hukum Komutatif Penjumlahaan 
  3.     z1 + (z2 + z3)= (z1+z2)+z3                     Hukum Asociative Penjumlahaan 
  4. z1 z2 = z2 z1                                          Hukum Komutatif Perkalian 
  5.  z1 (z2 z3) = (z1z2) z3                             Hukum Asosiatif Perkalian 
  6.  z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1z3                             Hukum Penyebaran 
  7.  z1 + 0 = 0 + z1 = z1, 1.z1 = z1.1 = z1, 0 adalah terpanggil identitas berkenaan dengan tambahan, 1 adalah terpanggil identitas berkenaan dengan perkalian.      Untuk apa pun bilangan kompleks z1 ada z bilangan unik dalam S seperti z + z1 = 0; z adalah terpilih searah z1 untuk penjumlahan yang ditunjukan oleh –z1.      Untuk apa pun z1 0 ada jumlah anuique dalam S seperti z1z = zz1= 1; z adalah terpilih berlawanan z1 berkenaan dengan perkalian dan ditunjukan oleh z1 -1 atau 1/z1.
Penyajian Grafis Dari Bilangan Kompleks
Jika perbandingan riil dipilih pada dua bagian tegak lurus X'OX dan Y'OY yang disebut x dan y bagian berturut-turut seperti 1-2, maka kita dapat menempatkan titik manapun, di dalam bidang yang ditentukan oleh bentuk ini, dengan penghembus yang ditentukan dari bilangan riil
0 komentar | edit post
Materi Pelajaran Dan Hakekat Matematika
Unknown


A.MATERI PELAJARAN
1.      Pengertian Materi Pelajaran
Materi pelajaran merupakan pengetahuan, keterampilan, serta sikap yang harus dimiliki dan dikuasai oleh para peserta didik dalam rangka untuk memenuhi standar kompetensi yang ditetapkan. Jadi dengan kata lain materi pelajaran itu adalah sarana untuk mencapai tujuan dari sebuah pembelajaran. Secara umum materi pelajaran terbagi menjadi tiga jenis yakni yang pertama adalah informasi, alat, atau teks yang diperlukan guru untuk merancang suatu pembelajaran. Yang kedua adalah segala bahan yang digunakan guru untuk membantu mengajar di dalam kelas. Dan yang ketiga adalah seperangkat substansi pembelajaran yang telah disusun secara sistematis.
Ada beberapa hal yang harus di perhatikan dalam menetapkan materi pelajaran diantaranya :
·         Materi pelajaran harus sesuai dan menunjang tercapainya tujuan instruksional.
·         Materi pelajaran hendaknya sesuai dengan tingkat pendidikan atau perkembangan siswa pada umumnya.
·         Menetapkan materi pembelajaran harus serasi dengan urutan tujuan.
 Urutan materi pelajaran hendaknya memperhatikan kesinambungan (kontinuitas).
·         Materi pelajaran di susun dari hal yang sederhana menuju yang komplek, dari yang mudak menuju yang sulit, dari yang konkret menuju yang abstark. Dengan cara ini siswa akan mudah memahaminya.
·         Materi pelajaran hendaknya mencakup hal-hal yang bersifat factual maupun konseptual.


2.      Aspek – Aspek  Materi
            Kalau kita mempelajari lebih dalam mengetahui  materi pelajaran ,maka kita akan dapat melihat adanya berbagai aspek yang antara lain : konsep fakta, proses , nilai keterampilan , bahkan juga terdapat sejumlah masalah-masalah  yang ada kaitannya dengan kehidupan masyarakat.
Istilah – istilah tersebut pada garis besarnya ialah :
1.      Konsep adalah suatu idea tau gagasan atau suatu pengertian yang umum, misalnya meliputi definisi lingkaran,.
2.      Prinsip adalah suatu kebenaran dasar sebagai titik tolak untuk berpikir atau merupakan suatu petunjuk untuk berbuat / melaksanakan sesuatu ,  meliputi dalil, rumus, postulat, teorema.
3.      Fakta adalah sesuatu  yang telah terjadi atau yang telah dikerjakan/dialami.Mungkin berupa hal , objek atau keadaan.Jadi  bukan sesuatu yang diinginkan  atau pendapat atau   teori.
4.      Proses adalah serangkaian perubahan , gerakan – gerakan perkembangan . Suatu proses dapat terjadi secara sadar tidak disadari. Dapat  juga merupakan cara melaksanakan kegiatan operasional (misalnya di pabrik) atau proses pembuatan tempe, proses perubahan warna pada daun yang kena hama wereng dan sebagainya.
5.      Nilai adalah suatu pola, ukuran atau merupakan suatu tipe atau model . Umumnya nilai bertalian dengan pengakuan atau kebenaran yang bersifat umum, tentang baik atau buruk.
6.      Keterampilan adalah kemampuan berbuat sesuatu dengan baik. Berbuat dapat berarti secara jasmaniah ( menulis, berbicara dan sebagainya) Biasanya kedua aspek tersebut tidak terlipas satu sama lain.
3.      Prinsip-Prinsip Penentuan Materi
Prinsip-prinsip yang dijadikan dasar dalam menentukan materi pembelajaran adalah kesesuaian (relevansi), keajegan (konsistensi), dan kecukupan (adequacy).
a)      Relevansi artinya kesesuaian.
Materi pembelajaran hendaknya relevan dengan pencapaian standar kompetensi dan pencapaian kompetensi dasar. Jika kemampuan yang diharapkan dikuasai peserta didik berupa menghafal fakta, maka materi pembelajaran yang diajarkan harus berupa fakta, bukan konsep atau prinsip ataupun jenis materi yang lain. Misalnya : kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta didik adalah ” Mengidentifikasi sifat-sifat kubus, balok, prisma dan limas serta bagian-bagiannya maka pemilihan materi pembelajaran yang disampaikan seharusnya ”Referensi tentang sifat-sifat bab bagian dari kubus,balok,prisma dan limas” (materi konsep), bukan menentukan volume dari kubus,balok,prisma dan limas. (materi prosedur).
b)      Konsistensi artinya keajegan.
Jika kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta didik ada empat macam, maka materi yang harus diajarkan juga harus meliputi empat macam. Misalnya kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta didik adalah Operasi Aljabar bilangan bentuk akar (Matematika Kelas X semester 1) yang meliputi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, maka materi yang diajarkan juga harus meliputi teknik penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan merasionalkan pecahan bentuk akar.
c)      Adequacy artinya kecukupan.
Materi yang diajarkan hendaknya cukup memadai dalam membantu peserta didik menguasai kompetensi dasar yang diajarkan. Materi tidak boleh terlalu sedikit, dan tidak boleh terlalu banyak. Jika terlalu sedikit maka kurang membantu tercapainya standar kompetensi dan kompetensi dasar. Sebaliknya, jika terlalu banyak maka akan mengakibatkan keterlambatan dalam pencapaian target kurikulum (pencapaian keseluruhan SK dan KD).
Adapun dalam pengembangan materi pembelajaran guru harus mampu mengidentifikasi Materi Pembelajaran dengan mempertimbangkan hal-hal di bawah ini:
1. potensi peserta didik;
2. relevansi dengan karakteristik daerah;
3. tingkat perkembangan fisik, intelektual, emosional, sosial, dan spritual peserta didik;
4. kebermanfaatan bagi peserta didik;
5. struktur keilmuan;
6. aktualitas, kedalaman, dan keluasan materi pembelajaran;
7. relevansi dengan kebutuhan peserta didik dan tuntutan lingkungan; dan
8. alokasi waktu.

3. Kriteria Pemilihan Materi Pelajaran                           
            Materi pelajaran berada dalam ruang lingkup isi kurikulum. Karena itu , pemilihan materi pelajaran tentu saja harus sejalan dengan ukuran – ukuran (criteria) yang digunakan untuk memilih isi kurikulum bidang studi bersangkutan. Kriteria pemilihan materi pelajaran yang akan dikembangkan dalam system instuksional dan yang mendasari penentuan strategi belajar mengajar :
a)      Kriteria tujuan istruksional
b)      Suatu materi pelajaran yang terpilih dimaksudkan untuk mencapai tujuan instruksional khusus atau tujuan – tujuan tingkah laku. Karena itu, materi tersebut supaya sejalan dengan tujuan – tujuan yang telah dirumuskan.
c)      Materi pelajaran supaya terjabar
d)     Perincian materi pelajaran berdasarkan pada tuntutan dimana setiap TIK telah dirumuskna secara spesifik , dapat diamati dan terukur. Ini berarti terdapat keterkaitan yang  erat antara spesifikasi tujuan dan spesifikasi materi pelajaran.
e)      Relevan dengan kebutuhan siswa
f)       Kebutuhan siswa yang pokok adalah bahwa mereka ingin berkembang berdasarkan  potensi yang dimilikinya. Karena berkembang berdasarkan potensi yang dimilikinya.
g)      Karena setiap materi pelajaran yang akan disajikan hendaknya sesuai dengan usaha untuk mengembangkan pribadi siswa secara bulat dan utuh. Beberapa aspek di antaranya adalah pengetahuan ,sikap, nilai dan keterampilan.
h)      Kesesuaian dengan kondisi masyarakat
i)        Siswa dipersiapkan untuk menjadi warga masyarakat yang berguna dan mampu hidup   mandiri. Dalam hal ini, materi pelajaran yang dipilih hendaknya turut membantu mereka memberikan pengalaman edukatif yang bermakna bagi perkembangan mereka menjadi manusia yang mudah menyesuaikan  diri.
j)        Materi pelajaran mengandung segi-segi etik
k)      Materi pelajaran yang akan dipilih  hendaknya mempertimbangkan segi perkembangan moral siswa kelak.Pengetahuan dan keterampilan yang bakal mereka peroleh dari materi pembelajaran yang telah mereka terima di arahkan untuk mengembangkan dirinya sebagai manusia yang etik sesuai dengan system nilai dan norma-norma yang berlaku di masyarakatnya.
l)        Materi pelajaran tersusun dalam ruang lingkup dan urutan yang sistematik dan logis.
m)    Setiap materi pelajaran disusun secara bulat dan menyeluruh, terbatas ruang lingkupnya dan terpusat pada satu topic masalah tertentu. Materi disusun secara berurutan dengan mempertimbangkan factor perkembangan psikologis siswa . Dengan cara ini diharapkan isi materi tersebut akan lebih mudah diserap oleh si siswa dan dapat segera dilihat keberhasilannya.
n)      Materi pelajaran bersumber dari buku sumber yang baku, pribadi guru yang ahli, dan masyarakat.
4. Langkah-Langkah Penentuan Materi Pembelajaran
a)Identifikasi standar kompetensi dan kompetensi dasar.
Sebelum   menentukan   materi   pembelajaran   terlebih   dahulu   perlu   di identifikasi aspek- aspek keutuhan kompetensi yang harus dipelajari atau dikuasai  peserta didik. Aspek  tersebut perlu ditentukan, karena setiap  standar kompetensi  dan kompetensi dasar memerlukan jenis materi yang berbeda-beda dalam kegiatan pembelajaran. Harus ditentukan apakah standar kompetensi   dan kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta  didik termasuk ranah kognitif, psikomotor ataukah afektif.
b)Identifikasi Jenis-Jenis Materi Pembelajaran 
Identifikasi dilakukan berkaitan dengan kesesuaian materi pembelajaran dengan tingkatan aktivitas/ranah  pembelajarannya. Materi  yang sesuai untuk ranah  kognitif ditentukan berdasarkan perilaku yang menekankan aspek intelektual,seperti pengetahuan, pengertian,dan keterampilan berpikir.
Materi  yang akan  dibelajarkan   perlu  diidentifikasi  secara  tepat agar pencapaian kompetensinya dapat diukur. Di samping itu, dengan mengidentifikasi jenis-jenis materi yang akan dibelajarkan,maka guru akan mendapatkan ketepatan dalam   metode   pembelajarannya. Sebab,setiap   jenis   materi   pembelajaran memerlukan strategi, metode,  media, dan sistem evaluasi yang berbeda-beda.
c) Memilih jenis materi yang sesuai dengan standar kompetensi dan  kompetensi
dasar.
Cara yang paling mudah untuk menentukan jenis materi pembelajaran yang
akan dibelajarkan adalah dengan mengetahui tentang kompetensi dasar yang  harus dikuasai peserta didik. Dengan mengacu pada kompetensi dasar, kita akan  mengetahui apakah materi yang harus kita belajarkan berupa  fakta,konsep,  prinsip,  prosedur, aspek sikap, atau keterampilan motorik.  
contohnya:
Kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta didik berupa kemampuan untuk menyatakan suatu definisi ,menuliskan ciri khas sesuatu, mengklasifikasikan atau mengelompokkan beberapa contoh objek sesuai dengan suatu definisi. Berarti materi yang diajarkan adalah “konsep”.
d) Memilih Sumber Bahan Ajar
Setelah jenis materi ditentukan langkah berikutnya adalah menentukan
sumber bahan ajar. Materi pembelajaran atau bahan ajar dapat kita temukan dari berbagai sumber seperti buku pelajaran , internet dan sebagainya.
                          
5. Penentuan Cakupan Dan Urutan Penyajian Bahan Ajar
Bahan   ajar   merupakan   informasi,   alat   dan   teks   yang   diperlukan
guru/instruktur untuk perencanaan dan penelaahan implementasi pembelajaran.
Bahan ajar adalah segala bentuk bahan yang digunakan untuk membantu guru/
instruktur dalam melaksanakan kegiatan belajar mengajar di kelas.
A.Penentuan Cakupan Bahan Ajar
Dalam menentukan cakupan atau ruang lingkup materi pembelajaran harus
memperhatikan beberapa aspek berikut 
a) Aspek kognitif (fakta, konsep, prinsip, prosedur), aspek afektif, ataukah aspek  psikomotor, karena ketika sudah diimplementasikan dalam proses pembelajaran   maka tiap-tiap jenis uraian materi tersebut   memerlukan   strategi   dan   media     pembelajaran   yang
berbeda-beda.Selain   memperhatikan   jenis   materi   juga   harus memperhatikan   prinsip-prinsip yang perlu digunakan dalam menentukan cakupan materi pembelajaran yang menyangkut keluasan dan kedalaman materinya.  
b)Keluasan cakupan materi berarti menggambarkan seberapa banyak materi-materi     yang   dimasukkan   ke   dalam   suatu   materi pembelajaran. Kedalaman materi   menyangkut rincian konsep-konsep yang terkandung di dalamnya yang harus  dipelajari oleh peserta didik.
c)Kecukupan (adequacy) atau memadainya cakupan materi juga perlu diperhatikan. Memadainya cakupan aspek materi dari suatu materi pembelajaran   akan   sangat  membantu     tercapainya   penguasaan kompetensi dasar yang telah ditentukan.Cakupan  atau ruang lingkup materi perlu ditentukan untuk mengetahui
apakah materi   yang akan diajarkan terlalu banyak, terlalu sedikit, atau telah
memadai sehingga terjadi   kesesuaian dengan kompetensi dasar yang ingin
dicapai.  
B.Urutan  Penyajian Bahan  Pembelajaran
Urutan penyajian berguna untuk menentukan urutan proses pembelajaran.
Tanpa   urutan   yang   tepat,   jika   di   antara   beberapa   materi     pembelajaran mempunyai hubungan yang bersifat prasyarat (prerequisite) akan menyulitkan
peserta   didik   dalam   mempelajarinya.Misalnya,   materi   operasi   bilangan
penjumlahan,   pengurangan,   perkalian,   dan   pembagian.   Peserta   didik   akan
mengalami kesulitan mempelajari pengurangan jika  materi penjumlahan belum
dipelajari.Peserta didik akan mengalami kesulitan melakukan  pembagian jika
materi perkalian belum dipelajari.
6. Cara pemilihan materi
Dengan mengacu pada syarat dari  materi pelajaran, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam memilih atau menetapkan materi pelajaran :
a.       Tujuan pengajaran
Materi pelajaran hendaknya ditetapkan dengan mengacu pada tujuan – tujuan instruksional yang ingin dicapai.
b.      Pentingnya bahan
Materi yang diberikan hendaknya merupakan bahan yang betul – betul penting , baik dilihat dari tujuan yang ingin dicapai maupun fungsinya untuk mempelajari bahan berikutnya.
c.       Nilai praktis
Materi yang dipilih hendaknya bermakna bagi para siswa , dalam arti mengandung bilai praktis atau bermanfaat bagi kehidupan sehari-hari.
d.      Tingkat perkembangan peserta didik
Kedalaman materi yang dipilih hendaknya ditetapkan dengan memperhitungkan tingkat perkembangan berpikir siswa yang bersangkutan, dalam hal ini biasanya telah dipertimbangkan dalam kurikulum sekolah yang bersangkutan.
e.       Tata urutan
Materi yang diberikan hendaknya ditata dalam urutan yang memudahkan dipelajarinya keseluruhan materi oleh peserta didik atau siswa.
A.Contoh materi pelajaran kelas xi smester 2
FAKTORISASI SUKU ALJABAR
 Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
  • Dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar;
  • Dapat menentukan faktor suku aljabar;
  • Dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.
  • Dapat melukis segitiga yang diketahui tiga sisinya, dua sisi satu sudut apitnya atau satu sisi dan dua sudut;
  • Dapat melukis segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki;
  • Dapat melukis garis tinggi, garis bagi, garis berat, dan garis sumbu.
FUNGSI
Tujuan Pembelajaran BAB ini adalah :
  • Dapat menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi;
  • Dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi;
  • Dapat menghitung nilai fungsi;
  • Dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui;
  • Dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi;
  • Dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.

PERSAMAAN GARIS LURUS
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
  • Dapat mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus dalam berbagai bentuk;
  • Dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, melalui satu titik dengan gradien tertentu;
  • Dapat menggambar grafik garis lurus.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
  • Dapat menyebutkan perbedaan persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel;
  • Dapat mengenal sistem persamaan linear dua variabel dalam berbagai bentuk dan variabel;
  • Dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan substitusi dan eliminasi;
  • Dapat membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel;
  • Dapat menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya.

TEOREMA PYTHAGORAS

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
  • Dapat menemukan teorema Pythagoras;
  • Dapat menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lain diketahui;
  • Dapat menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimewa;
  • Dapat menghitung panjang diagonal pada bangun datar.
LINGKARAN
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
  • Dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran;
  • Dapat menemukan nilai phi;
  • Dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran;
  • Dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama;
  • Dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama;
  • Dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;
  • Dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah.

B.HAKEKAT MATEMATIKA
1.1.  Pengertian Matematika
      Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein danmathenemyang berarti mempelajari.Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata sansekerta, medha atau widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensi.Kata matematika berasal dari perkataan latin matematika yang mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathemayang berarti pengetahuan dan ilmu (knowledge, science). Kata matheimatike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya.
Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berfikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika. Logika adalah masa bayi dari matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa dari logika.Sejalan dengan berkembangnya matematika, maka banyak para ahli yang mengemukakan pendapatnya mengenai matematika.
   Dengan memperhatikan definisi matematika, dapat diidentifikasi bahwa matematika jelas berbeda dengan mata pelajaran lain dalam beberapa hal berikut, yaitu :
a.       Objek pembicaraannya abstrak, sekalipun dalam pengajaran di sekolah anak diajarkan benda kongkrit, siswa tetap didorong untuk melakukan abstraksi;
b.      Pembahasan mengandalkan tata nalar, artinya info awal berupa pengertian dibuat seefisien mungkin, pengertian lain harus dijelaskan kebenarannya dengan tata nalar yang logis;
c.       Pengertian/konsep atau pernyataan sangat jelas berjenjang sehingga terjaga konsistennya.
d.      Melibatkan perhitungan (operasi);
e.       Dapat dipakai dalam ilmu yang lain serta dalam kehidupan sehari-hari.
Dari definisi-definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan lambang-lambang atau simbol dan memiliki arti serta dapat digunakan dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bilangan.

1.2.  Hakekat Belajar Matematika
Pada hakikatnya matematika itu adalah sebuah simbul, dan bersifat deduktif (dari umum ke khusus) dan merupakan ilmu yang logis dan sistematis . Dalam ilmu matematika terdapat istilah-istilah diantaranya :
a.        Aksioma 
suatu pernyataan yang dijadikan dalil atau dasar  pemula yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi.
b.       Definisi
Suatu pernyataan yang di jadikan pembatas suatu konsep
c.        Yeorama
Pernyataan yang diturunkan dari aksioma yang kebenaranya masi perlu di buktikan.
d.       Himpunan
Sekumpulan suatu himpunan yang mana dalam matematika terdapat beberapa himpunan.
Dari uraian diatas dapat di ambil sebuah kesimpulan bahwa matematika merupakan ilmu yang pasti dan bersifat sistematis. Dan tujuan mempelajari matematika adalah :
  1. Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan.
  2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi.
  3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.
  4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi. 
Matematika mempelajari tentang keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan, konsep-konsep matematika tersusun secara hirarkis, berstruktur dan sistematika, mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep paling kompleks.
Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abtrak, sehingg disebut objek mental, objek itu merupakan objek pikiran. Objek dasar itu meliputi: Konsep, merupakan suatu ide abstrak yang digunakan untuk menggolongkan sekumpulan obejk. Misalnya, segitiga merupakan nama suatu konsep abstrak.
 Dalam matematika terdapat suatu konsep yang penting yaitu “fungsi”, “variabel”, dan “konstanta”.
Konsep berhubungan erat dengan definisi, definisi adalah ungkapan suatu konsep, dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambing dari konsep yang dimaksud.Prinsip, merupakan objek matematika yang komplek.
Prinsip dapat terdiri atas beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi/operasi, dengan kata lain prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prisip dapat berupa aksioma, teorema dan sifat.
Operasi, merupakan pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika lainnya, seperti penjumlahan, perkalian, gabungan, irisan. Dalam matematika dikenal macam-macam operasi yaitu operasi unair, biner, dan terner tergantungd ari banyaknya elemen yang dioperasikan. Penjumlahan adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua, tetapi tambahan bilangan adalah merupakan operasi unair karena elemen yang dipoerasika hanya satu.
Proses berpikir matematika disebut proses berpikir aksiomatik karena pada dasarnya landasan berpikir matematika adalah kesepakatan-kesepakatan yang disebut aksioma.
Hakekat matematika berkenaan dengan ide-ide struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak.Jika matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur.
Beberapa hakekat atau definisi dari matematika adalah sebagai berikut:
a.       Matematika sebagai cabang ilmu pengetahuan eksak atau struktur yang teroganisir secara sistematik.
Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat).


b.      Matematika sebagai alat ( tool )
Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh :
Siswa menyelesaikan soal-soal matematika dan memecahkan masalahnya sehingga siswa di tuntut untuk berfikir kreatif dan logis, seperti menjelaskan sifat matematika, berbicara persoalan matematika, membaca dan menulis matematika dan lain-lain.Menggunakan berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti jangka, kalkulator, dan sebagainya.                                                               
c.       Matematika sebagai pola pikir deduktif
Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).
Contoh :
Kegiatan pembelajaran dapat dimulai dengan menyajikan beberapa contoh atau fakta yang teramati, membuat daftar sifat-sifat yang muncul, memperkirakan hasil yang mungkin, dan kemudian siswa dapat diarahkan menyusun generalisasi secara deduktif. Selanjutnya, jika memungkinkan siswa dapat diminta membuktikan generalisi yang diperolehnya secara deduktif
d.      Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking).
Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis
Contoh :
Matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.


e.       Matematika sebagai bahasa artifisial.
Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika.Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.
Contoh :
Jika kita mempelajari kecepatan berjalan dari sebuah benda, maka objek “kecepatan gerak benda” dapat kita lambangkan dengan x. Dalam hal ini, x hanya mempunyai arti “kecepatan gerak benda”. Di samping itu, lambing x tidak memiliki arti majemuk lainnya. Jika kita ingin menghubungkan “kecepatan gerak benda” dengan “jarak yang di tempuh benda” (dalam hal ini dilambangkan dengan ‘y’), maka kita dapat melambangkan hubungan tersebut dengan lambang x = y/z  di mana z melambangkan “waktu yang ditempuh”.
f.       Matematika sebagai seni yang kreatif.
Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.
Contoh :
Keindahan matematika berdasarkan pola yg dituangkan dalam angka :
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321


1.3.  Proses Pembelajaran
Proses pembelajaran pada hakekatnya untuk mengembangkan aktivitas dan kreativitas peserta didik, melalui berbagai interaksi dan pengalaman belajar.Oleh karena itu, situasi kegiatan pembelajaran perlu diusahakan agar aktifitas dan kreativitas peserta didik dapat berkembangkan secara optimal peserta didik akan lebih kreatif jika:
a.      Dikembangkannya rasa percaya diri pada peserta didik, dan mengurangi rasa takut,
b.      Memberi kesempatan pada seluruh peserta didik untuk berkomunikasi   ilmiah secara bebas dan terarah,
c.       Melibatkan peserta didik dalam tujuan belajar dan evaluasinya,
d.      Memberikan pengawasan yang tidak terlalu ketat dan tidak otoriter,
e.       Melibatkan mereka secara aktif dan kreatif dalam proses pembelajaran secara keseluruhan.
1.4. Karakteristik Matematika
Karakteristik- karakteristik matematika dapat dilihat pada penjelasan berikut:                
a.              Memiliki Kajian Objek Abstrak.
Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut sebagai objek mental.Di mana objek-objek tersebut merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi, dan prinsip.Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:
1.      Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh simbol bilangan “3”  sudah di pahami sebagai bilangan “tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami  bahwa yang dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.
2.      Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”. Konsep berhubungan erat dengan definisi.Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep.Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu.
3.      Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak.Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui.
4.      Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi.Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai     objek dasar matematika.Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.

b.              Bertumpu Pada Kesepakatan.
Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting.Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif.Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian.Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian.Aksioma juga disebut sebagai postulat (sekarang) ataupun pernyataan pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu dibuktikan).Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema.Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu.Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.

c.       Berpola pikir Deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara  induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.
Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif.Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus”.Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana.
Contoh:
Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Phytagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika tertentu, maka teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima dengan benar.
Dari contoh prinsip diatas, bahwa urutan konsep yang lebih rendah perlu dihadirkan sebelum abstraksi selanjutnya secara langsung. Supaya hal ini bisa bermanfaat, bagaimanapun, sebelum kita mencoba mengkomunikasikan konsep yang baru, kita harus menemukan apakontribusi konsepnya; dan begitu seterusnya, hingga kita mendapat konsep primer yang lain.


d.      Memiliki simbol yang kosong dari arti
Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf.Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika.Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu, dsb. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda + belum tentu berarti operasi tamba untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda dalam model x + y = z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan memanfaatkan model itu. Kosongnya arti itu memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).
e.       Memperhatikan semesta pembicaraan
Sehubungan dengan penjelasan tentang kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika diatas, menunjukkan dengan jelas bahwa dalam memggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraanya adalah bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan.Bila lingkup pembicaraanya transformasi, maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi.Lingkup pembicaraan itulah yang disebut dengan semesta pembicaraan.Benar atau salahnya ataupun ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya.
Contoh:
Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model 2x = 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x = 2,5. Tetapi kalu suda ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat maka jawab x = 2,5 adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada.Sering dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.
f.       Konsisten dalam sistemnya
Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain, tetapi dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu sama lain
















KESIMPULAN
Materi Pelajaran adalah Pengetahuan, keterampilan, dan sikap yang harus dikuasai peserta didik dalam rangka memenuhi kompetensi yang ditetapkan. Bentuk Materi Pelajaran yaitu :1. Teori 2. Konsep 3. Generalisasi 4. Prinsip 5. Prosedur 6. Fakta 7. Istilah 8. Contoh/ilustrasi 9. Definisi 10. Preposisi
 Dalam menentukan materi pembelajaran terdapat syarat-syarat yang harus diperhatiakn, yaitu: Materi pelajaran hendaknya sesuai dengan/menunjang tercapainya tujuan intruksional, Materi pembelajaran hendaknya sesuai dengan tingkat pendidikan/perkembangan siswa pada umumnya, Materi pelajaran hendaknya terorganisasi secara sistematik dan berkesinambungan, Materi pelajaran hendaknya mencakup hal-hal yang bersifat faktual namun konseptual.
Kriteria materi pembelajaran, diantaranya: kriteria tujuan instruksional, materi pelajaran supaya terjabar, relevan dengan kebutuhan siswa, kesesuaian dengan kondisi masyarakat, materi pelajaran mengandung segi-segi etik, materi pelajaran tersusun dalam ruang lingkup dan urutan yang sistematik dan logis, dan materi.
 Hal-hal yang harus dipertimbangkan dalam penentuan dan pengembangan materi pelajaran adalah : 1) potensi peserta didik; 2) relevansi dengan karakteristik daerah; 3) tingkat perkembangan fisik, intelektual, emosional, sosial, dan spritual peserta didik; 4) kebermanfaatan bagi peserta didik; 5) struktur keilmuan; 6) aktualitas, kedalaman, dan keluasan Materi Pelajaran; 7) relevansi dengan kebutuhan peserta didik dan tuntutan lingkungan; dan 8) alokasi waktu.



Daftar pustaka
Dimyati dan Mudjiono.2009.Belajar dan Pembelajaran.Jakarta:Rhineka Cipta.
Idris dan Marno.2008.Strategi dan Metode Pengajaran.Jogjakarta:AR-Ruzz Media.
Rusman.2012.Model-Model Pembelajaran.Jakarta:PT.Raja Grafindo Persada.
Soetopo,Sungkowo.2011.Belajar dan Pembelajaran.Palembang:Universitas Sriwijaya.
Suktikno,Sobry.2005.Pembelajaran Efektif.Mataram:NTP Press.
Wiranatapura,Udin.2007.Materi pokok belajar danPembelajaran.Jakarta:Universitas Terbuka.
Arifinmuslim.2010.Hakikat Matematika dan Pembelajaran. Matematika.http://www.scribd.com/Hakikat Matematika dan Pembelajaran Matematika.diakses tanggal 21 Oktober 2013.
Dwipratiwi,Hartika.2013.HakekatMatematika.http://hartikadwipratiwi.wordpress.com.di akses tanggal 15 November 2013.
Faizin,Nurul.2011.Pengertian Matematika dan Hakekat Matematika.http://Pengertian Hakekat Matematika.blogspot.com.di akses tanggal 21 Oktober 2013.
Haryanto,Budi.2011.HakekatMatematika.http://budiunm.blogspot.com/2011/12/hakekat-matematika.html di akses tanggal 21 oktober 2013.



0 komentar | edit post